Las proyecciones espectrales positivas y negativas son aplicaciones de clase $C^{∞}$ - MUENTES ACEVEDO, Jeovanny de Jesus (Revista MATUA, 2015)
Sea $H$ un espacio de Hilbert real o complejo. Denotaremos por $Gl_{S}(H)$ el conjunto formado por los isomorfismos auto-adjuntos limitados en $H$. Si $L\in Gl_{S}(H)$, entonces existe una descomposición $H=H_{+}(L)\oplus H_{-}(L),$ invariante por $L,$ tal que $L$ es positivo en $H_{+}(L)$ y negativo en $H_{-}(L)$. El objetivo principal de este trabajo es dar una prueba elemental de que $ P_{-}, P_{+}: Gl_{S}(H) → L_ S (H),$ $P_{-}(L)$, donde $ P_{-}(L)$ y $ P_{+}(L)$ son las proyecciones ortogonales sobre $H_{-}(L)$ y $H_{+}(L)$ respectivamente, pueden ser expresadas como \begin{equation*} P_{-}(L) = - \frac{1}{2 π i} \int_ Γ (L-λ I)^{-1} d λ \quad \text{ e }\quad P_{+}(L) = I+ \frac{1}{2 π i} \int_ Γ (L-λ I)^{-1} d λ , \end{equation*} donde $ Γ $ es un camino cerrado diferenciable que contiene en su interior el espectro negativo de $L$. Usando esta representaci\'on, veremos que $P_{-}$ y $P_{+}$ son aplicaciones de clase $C^{∞}$.